Решение задач интернет-олимпиады

Закончилась 1-я тренировочная сессия для 11 классов, начинается 1 тур олимпиады


Решение задач  первой тренировочной сессии

11 класс

Задача 1.   1 балл

Сколько существует натуральных чисел, для которых одновременно выполняются следующие условия:

Запись числа в семеричной системе счисления имеет ровно три значащих разряда.

Если перевести это число в шестеричную систему счисления, то запись числа останется трехразрядной, но значение каждого разряда увеличится на единицу по сравнению со значениями соответствующих разрядов в записи этого числа в семеричной системе счисления.

В ответе укажите целое число.  

Решение:   Цифры числа обозначим   а2,  а1,  а0. Составим уравнение  

49* а2 + 7*a1 + a0 = 36* (a2+1) +6* (a1+1) + a0+1

13*a2 + a1 = 43  


по условию задачи  цифры    a1<5    0< a2 <5 

тогда уравнение имеет единственное решение  a2 = 3  a1 =4

при  этом цифра  а0 может принимать любое значение от 0 до 5, 
следовательно существует 6 натуральных чисел, удовлетворяющих условию.

Ответ:  6